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1. 세 점의 아핀 조합(Affine combination of Three points)세 점의 아핀 조합으로 만들 수 있는 공간의 형태는?컨벡스 조합(Convex Combination)아핀 조합에서 모든 계수의 크기가 0보다 크고 1보다 작은 경우를 컨벡스 조합이라고 한다.컨벡스 조합을 통해 실제로 사용할 수 있는 형상이 완성된다.볼록(Convex)과 오목 (Concave)임의의 두 점이 연결한 선이 영역을 벗어나면 오목하다고 표현한다.볼록함(Convexity)영역 내 임의의 점을 연결한 선이 영역을 벗어나지 않는 성질물리엔진에서의 MeshCollider에 나오는 Convex가 이것임.볼록한 영역들이 충돌 계산할때 단순하고 빠르게 계산할 수 있게 도와줌네 점의 컨벡스 조합네 점의 컨벡스 조합은 조합에서..

1. 아핀 공간에서의 점의 조합 앞서서 아핀 공간에서의 점 + 점의 연산은 불가능하였다. * 시각 + 시각의 연산과 같은 것그런데 스칼라를 보조로 사용해 다음과 같은 조합식을 만들어 보자.2차원의 점이라고 가정할 경우 위 조합식은 다음과 같이 전개된다.이 때 위 결과가 점이 되기 위해서는 마지막 차원 값이 반드시 1이 되어야 한다.따라서 다음의 수식이 성립한다.이를 원 식에 대입하면 다음의 식이 만들어지며 이는 점을 보장해주며,a값에 따라 무수히 많은 점을 만들어낼 수 있다. 점과 점의 연산은 불가능하지만, 스칼라를 이용해서 새로운 점을 만들어내는 식을 아핀 조합이라고 한다아핀 조합의 수식아핀 조합에 따른 점의 생성a값에 따라 생성된 점들이 위 그림과 같은 선상에 있음을 어떻게 증명할 수 있을 것인가? ..

1. 벡터의 내적 ( Dot Product )벡터 상에서 존재하는 특별한 연산 방법. 벡터의 연산기본 연산 벡터와 벡터의 덧셈벡터와 스칼라의 곱셈유용한 연산기본 연산이란?벡터 생성에 관여하는 중요한 연산선형 조합을 사용해 새로운 벡터를 생성했었다.유용한 연산의 종류벡터와 벡터의 곱 (a, b, c) · (d, e, f) = (ad, be, cf) : 색상 혼합에 많이 쓰임벡터의 내적 : 벡터의 응용에서 70-80은 쓰임벡터의 외적 (3차원에서만 성립)벡터의 내적 (Dot Product)N차원으로 늘어나도 같은 차원끼리 곱하고 더하는 방식으로 동작.결과값은 항상 스칼라(a,b) · (c,d) = ac + bd  벡터의 내적의 성질 유용한 벡터 내적의 식(u + v) · (u + v) = u ·  u + v..

1. 아핀 공간(Affine Space)이동 변환의 문제점왜 아핀 공간이 필요한가? 컴퓨터 그래픽스에서 이동 기능을 빼놓을 수 없는데앞선 선형변환을 이용해 이동을 구현할 수 없다.왜냐면 원점에서부터 시작하는 벡터의 특성상 기저벡터를 원점으로부터 분리해 이동시킬 수 없기 때문즉 다음과 같은 행렬은 존재하지 않는다.밀기 변환의 활용하지만 밀기 변환을 살짝 변형하면 이동기능을 구현할 수 있다!밀기 변환을 활용해 선형 변환의 형태로 이동을 구현하는 것이 가능하다. 평면의 이동 변환2차원의 밀기 변환을 통해 1차원의 이동을 구현했듯,3차원의 공간에서 평면을 밀면 평면의 이동 구현이 가능해 진다!수식으로 나타내면 다음의 3차원 정방 행렬을 사용하면 원하는 만큼 2차원 평면의 이동 구현이 가능해진다.위와 같이 계산한..

1. 역행렬(Inverse Matrix)행렬은 큰 관점에서 선형변환을 시키는 함수의 개념이기 때문에 역행렬도 역함수에 대응해 생각할 수 있다.항등 행렬(Identity Matrix)* 항등 함수 = 정의역과 치역의 결과물이 같은 것 선형 변환의 결과가 변함없는 행렬.두 표준 기저벡터 e1, e2의 값이 동일하게 유지되는 선형 변환을 의미한다.역행렬이란?선형 변환된 결과를 거꾸로 돌려주는 선형 변환. 이를 합성한 결과는 항등 변환이 된다.2. 역행렬의 계산 방법행렬식(Determinant)아래 연립방정식의 해는 존재하지 않는다.ad-bc = 0이 되고, 이는 해가 없음을 의미한다. 어째서인가?위 변환을 분석하면 표준기저벡터 e1, e2는 각각(2,1),(1,0.5)로 변환되었는데,이 둘은 같은 기울기를 가..

1. 행렬(Matrix)행렬의 단순 정의사각형 안에 수를 행렬과 열에 맞춰 배열한 것.복잡한 선형 변환의 식을 계산하기 편하게 단순화시킨 계산 도구선형 변환의 표현함수로서의 행렬: 2 X 2 Matrix벡터로서의 행렬: 2 X 1 Matrix행렬의 기본 연산들행렬과 행렬의 덧셈 연산행렬과 스칼라의 곱셈 연산행렬의 전치(Transpose) 연산행렬과 행렬의 곱셈 연산행렬 곱셈 연산의 특징교환 법칙을 만족하지 않는다.결합 법칙은 만족한다. 행렬 곱의 전치 연산분배법칙을 만족한다.2. 선형 변환과 행렬벡터 공간의 특징을 그대로 유지하면서 선형성을 띄고, 새로운 공간으로 변환되는 과정(선형 변환)이 행렬에 대응된다. 정방행렬과 열벡터의 곱셈이의 결과는 무엇을 의미하는가?정방 행렬은 같은 차원의 공간이 서로 대응..

1. 선형성(Linearity)선형성의 정의다음 두 가지 조건을 만족하면 선형성을 지닌다고 말한다.선형성을 만족하는 함수 찾기 둘다 같은 직선의 모양인데 f(x) = ax + b는 왜 선형성을 만족하지 않을까?선형성이란 선의 형태를 의미하기보다, 순수하게 인자의 1차 비례 관계로 구성된 대응 관계를 의미한다.f(x) = ax + b에서 b라는 불순물(?)이 들어갔기 때문에 순수한 1차 비례 관계가 깨져 선형성을 만족하지 못한다.선형성의 해석가산성(Additivity)의 성질물과 기름을 섞어서 넣은 결과는 물과 기름을 분리해 넣은 결과와 동일하다.다른 불순물이 존재하지 않는다.1차 동차성(Homogeniety of 1 degree)의 성질어떤 함수는 1차적으로 순수한 비례 관계를 가진다.불순물이 존재하지 ..

1. 삼각함수(Trigonometric function)직각삼각형(Right-Angled Triangle)의 3요소삼각비(Trigonometric Ratio)직각 삼각형을 구성하는 세 요소 중 두 요소에 대한 비의 값 그래픽에서는 cosθ , sinθ 그래프를 가장 많이 사용하고, tanθ 그래프는 이후 역함수에서 등장할 것.삼각함수(Trigonometric Function)삼각비를 집합의 관점에서 대응관계로 나타낸 것삼각함수와 단위 원단위 원: 반지름이 1인 원단위 원에 들어가는 직각 삼각형을 생각해보자. 빗변의 값은 항상 반지름인 1이다.코사인과 사인 함수의 성질사인 함수와 코사인 함수는 항상 [-1,1] 범위를 일정하게 반복하는 패턴을 가진다.사인과 코사인 함수는 2𝝅(360˚) 주기로 반복된다...