게임 콘텐츠의 제작 원리 2-4. 삼각형

1. 세 점의 아핀 조합(Affine combination of Three points)

세 점의 아핀 조합으로 만들 수 있는 공간의 형태는?

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컨벡스 조합(Convex Combination)

아핀 조합에서 모든 계수의 크기가 0보다 크고 1보다 작은 경우를 컨벡스 조합이라고 한다.

컨벡스 조합을 통해 실제로 사용할 수 있는 형상이 완성된다.

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볼록(Convex)과 오목 (Concave)

임의의 두 점이 연결한 선이 영역을 벗어나면 오목하다고 표현한다.

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볼록함(Convexity)

영역 내 임의의 점을 연결한 선이 영역을 벗어나지 않는 성질

물리엔진에서의 MeshCollider에 나오는 Convex가 이것임.

볼록한 영역들이 충돌 계산할때 단순하고 빠르게 계산할 수 있게 도와줌

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네 점의 컨벡스 조합

네 점의 컨벡스 조합은 조합에서 만들어지는 각 벡터가 선형 독립인 경우 다음과 같은 사면체가 나온다.

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2. 메시(Mesh) 구조

이제부터 컨벡스한 도형을 사용해서 현실과 유사한 3차원에서의 물체를 만들 것.

선분, 삼각형, 사면체 중에서 가장 유용한 것은 삼각형

 

수학으로 만들어지는 컨벡스 영역 중에서 가장 효과적으로 사용할 수 있는 도형은 삼각형이다.

• 2차원 영역의 표현 가능
• 3차원은 2차원 표면을 조합해 표현 가능

3차원의 입체를 표현하는 것이지, 그 내부까지 보여주는 것이 아님.

게임 그래픽에서는 빨리 계산해서 처리해야하기 때문에 내용물보다 겉 표면만 그린다.

 

3차원 물체는 삼각형을 조합해 다음과 같이 생성된다.

이 삼각형들을 저장한 것을 Mesh 구조라고 한다.

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메시(Mesh) 구조

• 정점과 삼각형 정보를 별도로 구성하는 삼각형 리스트(Triangle List) 방식을 사용한다.

정점 버퍼에는 정점을 모아두고 인덱스 버퍼에는 삼각형 정보를 모아둔다.

삼각형 두 개로 구성되는 사각형은 다음과 같이 설계할 수 있다.

이때 두 삼각형이 겹치는 정점은 재활용해 배치가 가능하다.

 

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와이어프레임(Wireframe)

삼각형마다 점을 연결해 선 그려 메시를 형상화한 결과 화면

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3. 무게중심좌표(Barycentric Coordinate)

메쉬를 다룰 때 중요하게 알아야 하는 개념

 

다음과 같은 아핀 조합의 식에서

세 계수를 조합해 (s, t, 1-s-t)생성한 좌표를 무게중심좌표라고 한다.

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무게 중심 좌표의 계산방법

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무게 중심 좌표의 활용 - 삼각형 채우기

 

이 중에서 컨벡스 조건을 만족하는 픽셀만 그린 결과 화면