게임 콘텐츠의 제작 원리 2-2. 내적

1. 벡터의 내적 ( Dot Product )

벡터 상에서 존재하는 특별한 연산 방법.

 

벡터의 연산

• 기본 연산 
  • 벡터와 벡터의 덧셈
  • 벡터와 스칼라의 곱셈
• 유용한 연산

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기본 연산이란?

• 벡터 생성에 관여하는 중요한 연산

선형 조합을 사용해 새로운 벡터를 생성했었다.

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유용한 연산의 종류

• 벡터와 벡터의 곱 (a, b, c) · (d, e, f) = (ad, be, cf) : 색상 혼합에 많이 쓰임
• 벡터의 내적 : 벡터의 응용에서 70-80은 쓰임
• 벡터의 외적 (3차원에서만 성립)

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벡터의 내적 (Dot Product)

• N차원으로 늘어나도 같은 차원끼리 곱하고 더하는 방식으로 동작.
• 결과값은 항상 스칼라

(a,b) · (c,d) = ac + bd 

 

벡터의 내적의 성질

 

유용한 벡터 내적의 식

(u + v) · (u + v) = u ·  u + v · v + 2(u · v) = |u|^2 + |v|^2 + 2(u · v)

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벡터 내적의 코사인 공식

 

벡터 내적에서 가장 중요한 공식

a  ·  b = |a||b|cosθ
벡터 a와 벡터 b의 내적은 벡터 a의 크기와 벡터 b의 크기에 벡터 a와 b가 이루는 사잇갓 θ의 cos값을 곱한 것과 같다.

 

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코사인 공식의 유도

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벡터 내적의 직교성 판별

 

벡터의 크기가 0이 아닐 때 내적이 0이 나오는 경우는 코사인 함수가 0일때이다.

이는 두 벡터가 서로 직각을 이룰 때만 성립된다.

두 벡터가 90º를 이루고 있는 성질을 직교성이라고 한다.

 

표준 기저 벡터 e1(0,1), e2(1,0)을 내적하면 0이 나온다.

 

두 벡터가 직교한다는 것을 직접 그림으로 확인하지 않아도 내적으로 증명할 수 있다.

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리지드 트랜스포메이션 (Rigid Transformation)

rigidbody = 물리학에서 강체, 물체의 형태가 변화하지 않는 최소 단위를 의미함

 

물체의 형태가 변하지 않는 변환의 조건은 무엇인가?

• 공간을 구성하는 모든 기저 벡터의 크기가 1
• 모든 기저 벡터가 서로 직교하고 있어야 함
• 선형 변환의 행렬식 값이 1

이를 만족하는 변환은 회전 변환이다.

회전변환 행렬

따라서 회전 변환은 물체의 형태를 변형시키지 않는다.

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2. 벡터의 내적의 활용

앞 뒤 판별

벡터 내적의 코사인 공식을 활용해 목표물이 앞에 있는지 뒤에 있는지 파악할 수 있다.

사잇각이(-90º, 90º) 범위에 있으면 앞에 있음을 의미하고 코사인 함수는 해당 범위에서 항상 양의 값을 가진다.

두 벡터를 내적한 결과가 양수: 앞, 음수: 뒤에 있음을 바로 파악할 수 있다.

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시야 판별

각 α가 시야각의 절반 값 β/2 보다 작다면 목표물은 시야각 내에 위치한다고 볼 수 있다.

그렇다면 이를 어떻게 파악할 수 있을까?

1. cos  β/2 값을 미리 구해 저장해둔다.
2. 시선 벡터와 목표물로 향하는 벡터의 크기를 1로 조정한다. 그렇다면 두 벡터의 내적은 cosα가 된다.
3. 코사인 함수(0º, 180º) 범위에서 각이 증가할수록 값이 감소한다.
4. 따라서 두 코사인 함수 값을 비교해 cosα값이 더 크면 시야범위 내에 있다고 판단한다.

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음영 계산

 

램버트 코사인 법칙

물체 표면이 반사하는 빛의 휘도(Luminance)는 표면 방향과 광원 방향의 사잇각의 코사인 값에 비례한다.

(표면 방향 벡터 N) · (표면에서 광원으로 향하는 벡터 L을 정규화한 벡터)를 내적하여 해당 광원이 얼마나 들어왔는지 파악할 수 있다!

 

이 공식은 셰이더 조명 공식의 가장 기본 식이며 흔히 N · L 로 불린다.

N · L 로 명암을 만든 가장 기본적인 셰이더 조명의 결과 화면은 다음과 같다.

 

Diffuse Shader

내적만을 사용해서 음역을 표현

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투영 벡터 공식