게임을 지탱하는 기초 수학 1-8. 역행렬

1. 역행렬(Inverse Matrix)

행렬은 큰 관점에서 선형변환을 시키는 함수의 개념이기 때문에 역행렬도 역함수에 대응해 생각할 수 있다.

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항등 행렬(Identity Matrix)

* 항등 함수 = 정의역과 치역의 결과물이 같은 것

 

선형 변환의 결과가 변함없는 행렬.

두 표준 기저벡터 e1, e2의 값이 동일하게 유지되는 선형 변환을 의미한다.

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역행렬이란?

선형 변환된 결과를 거꾸로 돌려주는 선형 변환. 이를 합성한 결과는 항등 변환이 된다.

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2. 역행렬의 계산 방법

행렬식(Determinant)

아래 연립방정식의 해는 존재하지 않는다.

ad-bc = 0이 되고, 이는 해가 없음을 의미한다. 어째서인가?

위 변환을 분석하면 표준기저벡터 e1, e2는 각각(2,1),(1,0.5)로 변환되었는데,

이 둘은 같은 기울기를 가지고 있음을 알 수 있다. 따라서 두 기저 벡터가 선형 독립에서 선형 의존 관계가 되었다.

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

 

ad-bc = 0이면 역행렬 함수를 만들 수 없다.

위의 경우 선형 변환의 결과로 2차원 평면이 1차원 직선으로 소멸되었기에

1차원에서 2차원으로 돌아가는 역행렬은 존재하지 않는다.

 

그렇다면 어째서 ad-bc 가 0이면 차원이 소멸되는 것인가?

두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이를 확인해보자.

동일한 기울기로 겹쳐있다 = 선형 의존이다.

만약 역행렬이 존재한다면 어떻게 되는가?

다음과 같은 변환을 생각하면 평면이 행려릭 값만큼 달라짐을 알 수 있다.

그렇다면 원상 복구하기 위해서는 달라진 크기의 역수만큼 변해야 한다.

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역행렬의 활용

연립방정식의 해를 구할 때 유용하게 사용된다.

 

아래 식에서 선형 변환 A와 변형된 벡터 v'만 알고 있는 경우

A의 역행렬을 구할 수 있다면 양변에 곱해 변환되기 전의 벡터 v를 구할 수 있다.

 

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임의의 정방행렬의 역행렬을 구하기 위한 방법은 여러가지가 있는데 대표적으로 다음의 방법들이 존재한다.

• 가우스 소거법(Gaussian elimination)
• 크라메르 공식(Cramer's rule)

하지만 우리가 사용하는 대표적인 선형 변환들은 위의 방법을 사용하지 않고

직관적으로 역행렬을 구하는 것이 가능하다.

 

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크기 행렬의 역행렬

밀기 행렬의 역행렬

회전 행렬의 역행렬

 

위 결과에서 Rθ 와 R(-θ)는 서로 전치 관계를 이룬다.

따라서 회전 행렬과 역행렬은 전치행렬이 됨을 알 수 있다.