게임을 지탱하는 기초 수학 1-5. 삼각함수

1. 삼각함수(Trigonometric function)

직각삼각형(Right-Angled Triangle)의 3요소

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삼각비(Trigonometric Ratio)

직각 삼각형을 구성하는 세 요소 중 두 요소에 대한 비의 값

6가지 경우의 수가 있을 수 있지만 이 중 중요히 쓰는 세 가지

 

그래픽에서는 cosθ , sinθ 그래프를 가장 많이 사용하고, tanθ 그래프는 이후 역함수에서 등장할 것.

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삼각함수(Trigonometric Function)

삼각비를 집합의 관점에서 대응관계로 나타낸 것

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삼각함수와 단위 원

• 단위 원: 반지름이 1인 원

단위 원에 들어가는 직각 삼각형을 생각해보자. 빗변의 값은 항상 반지름인 1이다.

sinθ그래프

cosθ그래프

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코사인과 사인 함수의 성질

• 사인 함수와 코사인 함수는 항상 [-1,1] 범위를 일정하게 반복하는 패턴을 가진다.
• 사인과 코사인 함수는 2𝝅(360˚) 주기로 반복된다.
• 축을 기준으로 좌우를 포개었을 때
  • 코사인 함수는 좌우 대칭
  • 사인 함수는 상하가 반전된 형태를 가진다.

 

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삼각함수의 유용한 공식

• 탄젠트함수는 cos90˚, cos270˚에서 존재하지 않는다. (분모가 0이되면 안되기 때문)
• 피타고라스 정리에 따라 sinθ의 제곱 +cosθ의 제곱 = 1

단위원이 아니더라도 유효한 공식이다.

 

• 실벡터공간 R²의 표준 기저 벡터 = 각의 값이 0˚와 90˚에 해당하는 벡터를 의미한다.

단위원을 생각해서 삼각함수 상기하면 잘 안까먹을 것

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2. 각의 측정

• 각도법(Degree)
• 호도법(Radian)

각도법(Degree)

원을 360개로 균일하게 나누고 ˚를 사용해 각을 표현.

왜 360? 약수가 많이 나오는 수라서 원을 쪼개어 계산할 때 유용하다.

 

호도법(Radian)

하지만 1˚를 단위로 삼아 원에 관련한 수학을 전개했을 때 불편한 점이 많다.

따라서 별도의 단위를 정하고 이를 기준으로 원에 대한 수학을 전개하는 것이 일반적

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호도법의 원리

떨어지지 않는 무리수  𝝅와 호의 길이가 1인 부채꼴의 각을 무리수 라디안

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호도법과 각도법의 관계

수학이나, 컴퓨터에서 삼각함수를 다룰 때는 모두 호도법 기준으로 전개.

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3. 벡터의 회전(Rotaion of Vector)

앞서 배운 삼각함수를 어디 쓰느냐! 각 θ 만큼 물체를 회전시킬 때

 

표준 기저벡터를 사용한 실벡터공간 R²의 원소 (x, y)의 생성 방법

표준기저벡터를 선형조합해서 만들어 낸다.

이때 표준기저벡터로 이루어진 벡터공간 R²의 두 기저 벡터가 새로운 값으로 변한다면

벡터 공간의 원소 (x,y)는 새로운 두 기저 벡터에 각각 x와 y를 곱한 벡터에 대응된다.

 

• 이때 새로운 두 기저 벡터가 크기가 1,
• 직교하는 상태와
• 현재 방향을 유지하면서 변형하는 것을 회전 변환이라고 한다.

 

각 θ만큼 발생한 회전 변환을 통해 임의의 벡터가 어떻게 변화되는지 살펴보자.

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4. 삼각함수의 역함수(Inverse trigonometric functions)

역함수가 존재하기 위해서는 해당함수는 전단사함수여야 한다.

하지만 sin, cos, tan는 전단사함수가 아니다. 왜냐하면 단사가 아니기 때문이다.

계속 [-1,1]반복하므로 1:1 대응이 아니기 때문

따라서 sin, cos, tan 함수를 단사함수로 만들기 위해 의도적으로 정의역의 값을 제한시키자.

 

그렇다면 전단사함수가 되어 역함수가 존재할 수 있다.

• 사인 함수가 전단사 함수가 될 수 있는 정의역 구간 : [- 𝝅/2 , 𝝅/2 ]
• 코사인 함수가 전단사 함수가 될 수 있는 정의역 구간: [0,𝝅]
• 탄젠트 함수가 전단사 함수가 될 수 있는 정의역 구간: (- 𝝅/2 , 𝝅/2 )

위의 범위에서 정의한 역함수를 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트함수라고도 부른다.

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역함수가 다루는 각의 범위

• 아크사인함수의 치역 : [- 𝝅/2 , 𝝅/2 ]
• 아크코사인 함수의 치역: [0,𝝅]
• 아크탄젠트 함수의 치역: (- 𝝅/2 , 𝝅/2 )

sin,cos, tan값을 알고 있을 때 그 각이 몇 도인지를 거꾸로 파악하는데 유용하게 쓸 수 있다.

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아크탄젠트 함수의 활용

두 삼각형은 다른 삼각형이고 다른 값을 가지지만 탄젠트 값은 동일하다

탄젠트 값을 알면 두가지 중 하나

탄젠트값과 부호정보를 전달하는 atan2

하지만 부호 정보를 추가로 전달할 수 있다면? 둘의 구분이 가능하다.

따라서 특별한 탄젠트의 역함수를 사용한다. 그것이 atan2(y,x)함수다.

어떤 벡터의 각을 알고 싶다면 탄젠트의 역함수 atan2를 사용한다.

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5. 극 좌표계(Polar Coordinate)

평면은 보통 x축, y축으로 구성되어 있다고 생각하는데,

평면이 무수히 많은 원들로 구성되어있다고 가정하고, 반지름의 값과 각으로 좌표를 표시하는 것.

회전할 때 많이 사용함.

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데카르트 좌표계에서 극 좌표계로 변환하기

각에 대한 값을 계산할 때 atan2

극 좌표계에서 데카르트 좌표계로 변환하기

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극 좌표계의 활용 예시

반지름 r의 크기에 비례해서 중심에서 멀어질 수록 회전을 더 많이 주고 싶은 경우