1-2. 게임을 지탱하는 기초 수학 - 함수

1. 함수(Function)의 기초

함수를 왜 배워야 하는가?

게임을 만든다는 것은 대부분 공간과 공간의 변환으로 구성되어 있다.

이러한 변환은 근본적으로 집합과 집합의 대응 관계에 기반하고 있으며, 이 과정은 함수로 설명된다.

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함수의 정의

X와 Y 두 집합의 대응관계를 의미.

함수인 것과 함수가 아닌 것

함수의 성립 조건: 첫 번째 집합의 모든 요소가 사용되어야 한다.

 

함수가 아닌 대응 관계

• 첫번째 집합의 어떤 원소에 대한 대응 관계가 빠져 있을 때
• 첫번째 집합의 한 원소가 두 번째 집합의 두 가지 이상 원소에 대응할 때

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함수에 관련된 주요 용어

• 정의역 (Domain)
• 공역 (Codomain)
• 치역 (Range) : 공역의 모든 원소에 대응되는 것은 아니므로 대응되는 요소만을 모아 치역이라고 함.

수학적 관점에서의 함수, 프로그래밍 관점에서의 함수

프로그래밍 관점에서의 함수

• 입력(Input) : '정의역'
• 출력(Output) : '공역'

 

함수의 종류(Classes of Function)

• 전사(Subjection) : 공역과 치역이 동일
• 단사(Injection) : 정의역과 공역의 요소가 1:1로 대응
• 전단사(Bijection) : 전사 + 단사를 모두 만족
• 일반(General): 이도 저도 아닌 것

전사O, 단사X / 전사X, 단사O / 전사O, 단사 O

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2.  곱집합 (Cartesian Product)

곱집합(AXB)의 정의

곱집합이란 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶어 구성한 집합.

(a,b)와 같이 원소를 나열하는 방식을 Tuple이라고 한다.

곱집합은 X 기호를 사용해 표현한다.

 

a는 A로 부터 온 것, b는 B로 부터 온 것으로 두 집합을 합친 것이라 이해할 수 있다.

곱집합의 예시 : 트럼프 카드

• 집합 R = {A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2}
• 집합 S = {♠,♣,♥,⬥}
• 트럼프 카드 : R X S

뿐만 아니라 좌표 계산에서도 곱집합 개념이 사용될 것.

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이항 연산을 함수로 해석하기

지금까지는 하나의 입력을 넣어 출력을 만드는 함수를 살펴봤는데,

이항 연산은 2개의 입력을 넣어야 한다. 즉 곱집합을 정의역에 넣으면 이항 연산을 만들어내는 함수 시스템 구축 가능.

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3.  합성함수(Composition)

두 함수를 두 단계를 거쳐 수행하는 것이 아니라, 한 단계로 합쳐 수행하는 것.

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함수의 대응관계

• 항등함수(Identity Function) : 똑같은 원소가 대응되는 관계 (기호  i)
• 역함수(Inverse Function) : 역원 처럼, 출력값이 자기 자신을 만들어주는 함수
  • 역함수의 조건
    • 전사, 단사 함수들은 역함수가 성립되지 않는다.
    • 전단사인 경우에만 역함수가 성립한다.

두 함수 모두, 화살표를 반대로 그려봤을 때, 함수의 조건을 만족하지 않으므로 역함수가 존재하지 않는다.

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함수와 그 역함수의 합성함수

항등함수가 된다.

 

합성함수의 역함수

 

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왜 이러한 합성함수의 대응관계를 알아야 하는가?

 

이후에 배울 행렬은 하나의 함수에 대응이 되고, 행렬의 곱셈은 합성 함수에 대응된다.

합성 함수의 성질을 이해하면 복잡한 행렬 연산의 매커니즘을 이해하는 기반이 된다.