1-1. 게임을 지탱하는 기초 수학 - 수의 구조

1. 수의 시각화

왜 수에 대해 알아야 하는가?

게임 세계는 벡터로 구성된 탄탄한 시스템이다. 이 시스템 위에서 콘텐츠가 만들어진다. 

벡터는 수를 이용해 만들어진 것이므로, 벡터를 정확하게 이해하기 위해서는 결국 수가 만들어내는 시스템에 대해 이해해야 한다.

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수(Numbers)의 종류

실수 집합(The set of real numbers) R

실수 집합 R은 수 사이에 빈틈이 없는 연속된 무한의 요소로 구성된 수의 집합

 

 

수 직선(Number Line)

실수 집합 R의 요소를 점으로 나열하면 연속성 있는 직선으로 표현할 수 있다.

 

 

수의 표현

벡터 시스템에 익숙해지려면 원점을 기준으로 양수와 음수의 두 체계로 나누고,

크기와 방향을 사용해 생각하는 방식에 익숙해지는 것이 쉽다.

• 크기 = 원점으로부터의 거리 =  |x|
• 방향 = 내가 속한 세계 =  -, +

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2.  이항 연산(Binary Operation)

이제 수가 가진 연산 시스템에 대해서 알아보자. 

수를 집합의 개념으로 관리한다고 이야기하고, 이항 연산이 존재한다는 점에서 일반적인 다른 집합과 차별화된다.

 

집합이란? 

집합(Set)의 정의: 원소(Element)의 묶음(Collection)

수 집합이 일반적인 집합과 다른 점: 연산이 존재한다.

a와 b의 연산 결과 a0b또한 수 집합에 속한다는 점에서 해당 연산에 대해 닫혀있다고 표현한다.

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사칙 연산의 재구성

• 뺄셈 → 덧셈
• 나눗셈 → 곱셈

 

덧셈 연산(Addition)의 시각화

덧셈 연산은 점을 평행 이동시키는 연산

 

곱셈 연산(Multiplication)의 시각화

곱셈 연산은 원점을 중심으로 점의 크기와 방향을 조절하는 연산

같은 방향으로 4배 증가 / 반대 방향으로 1배 증가(180도 회전한다.)

 

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3.  이항 연산의 성질

• 교환법칙(Commutativity)
  • a⋅b=b⋅a
• 결합법칙(Associativity)
  • (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
• 분배법칙(Distributivity)
  • a⋅(b+c)= a⋅b+a⋅c : 좌분배
  • (b+c)⋅a= b⋅a+c⋅a : 우분배

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항등원(Identity)

a와 연산했을 때 a가 그대로 나오게 해주는 b를 항등원이라고 한다.

• 덧셈의 항등원 : a + 0 = a
• 곱셈의 항등원 : a ⋅ 1 = a

역원(Inverse)

a와 연산했을 때 a의 항등원이 나오게 해주는 c를 역원이라고 한다.

• 덧셈의 역원(반수, opposite Number): a + (-a) = 0
• 곱셈의 역원(역수, Reciprocal): a ⋅ 1/a = 1, a ≠ 0

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4.  체(Field)의 공리(Axiom)

덧셈과 곱셈으로 실수가 가지는 연산의 구조를 공리를 가지고 분석해 보자.

 

공리(Axiom)

이론 체계에서 증명이 필요없는 가장 기초적인 명제.

 

공리를 만족하는 수의 집합을 정리하면서 수의 개념을 정립해보자!

수의 연산에 두 가지 종류가 있다고 가정하고, 첫번째(+) 두번째(⋅)라고 부를 것.

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군(Group)의 공리

첫 번째 연산에 대해 다음의 공리를 만족하는 수의 체계

1. 덧셈 연산에 대해 닫혀있다. (Closure)
2. 덧셈 연산은 결합법칙을 만족한다. (Associativity)
3. 덧셈 연산의 항등원이 존재한다. (Identity element)
4. 덧셈 연산의 역원이 존재한다. (Inverse element)

실수는 군의 구조를 가진다.
(R , +)

 

여기에다 교환법칙까지 성립하면 아벨 군(Abelian Group)이라고 한다.

 

아벨 군(Abelian Group)

1. 덧셈 연산은 교환법칙을 만족한다.(Commutativity)

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환(Ring)의 공리

첫 번째와 두 번째 연산에 대해 다음의 공리를 만족하는 수의 체계

1. 곱셈 연산에 대해 닫혀있다. (Closure)
2. 곱셈 연산은 결합 법칙을 만족한다. (Associativity)
3. 덧셈과 곱셈 연산은 분배 법칙을 만족한다. (Distributivity)

// 실수는 환의 구조를 가진다
(R , +, ⋅)

 

가환환(Commutative Ring)

1. 곱셈 연산은 교환 법칙을 만족한다. (Closure)
2. 곱셈 연산의 항등원이 존재한다.(Identity element)

환의 구조에서 두 번째 연산에 대해 교환 법칙을 만족하고 곱셈 연산의 항등원이 존재하는 특수한 환

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체(Field)의 공리

곱셈의 역원이 존재하는 수의 구조

• 0을 제외한 모든 원소에 대해 곱셈 연산의 역원이 존재한다. (Inverse element)

실수는 체의 구조를 가진다.

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• 덧셈과 곱셈 연산에 대해 교환, 결합, 분배 법칙을 만족하고 항등원과 역원이 존재하는 수의 구조
• = 사칙 연산이 닫혀 있고 자유롭게 연산 순서를 적용할 수 있는 구조
• 체의 구조를 만족하는 수 집합으로는 유리수(Q), 실수(R), 복소수(C)가 있음.

즉, 체의 구조를 만족하는 수 집합은 실수 뿐 만이 아니다.

 

실질적으로 수를 다룰 때 대부분 실수를 사용하긴 하지만, 이론적인 체계에서는 체의 구조를 가진 수 집합을 사용한다고 표현하는 것이 명확하고 확장 가능성이 높아진다.

 

• 체 집합은 F로 표현하고 체 집합의 원소를 스칼라(scalar)라고 한다.

 

수와 연산의 추상화

a + b

1. 실수 a와 실수 b를 더한다 
   • 사칙 연산을 자유롭게 사용할 수 있으나 하나의 수 체계만을 사용하는 것
2. 스칼라 a와 스칼라 b를 더한다
   • 체의 성질을 만족하는 모든 수 집합(유리수, 실수, 복소수)에 대해 포괄적으로 사용 가능하다.

2 처럼 읽게 되면, 체의 성질을 만족하는 모든 집합 즉, 유리수, 실수, 복소수에 상관없이 자유롭게 사용할 수 있는 수식이 된다!