게임을 지탱하는 기초 수학 1-4. 선형 독립

1. 벡터의 생성(Span) 시스템

• 선형 조합
• 선형 의존
• 선형 독립

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선형 조합(Linear Combination)

벡터의 기본 연산(벡터와 벡터의 덧셈, 벡터와 스칼라의 곱셈)을 사용해 새로운 벡터를 생성하는 수식 

 

선형 의존과 선형 독립의 수학적 정의

• 선형 의존: 위 수식을 만족하는 0이 아닌 계수가 존재하면 수식 내의 벡터들은 선형의존이라고 한다.
• 선형 독립: 위 수식을 만족하기 위해 모든 계수의 값이 0이라면 수식 내 벡터들은 선형 독립이라고 한다.

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선형 조합으로 새로운 벡터 생성하기

그렇다면 두 벡터 (1,2)와 (1,3)을 조합하면 평면 위의 모든 벡터 생성이 가능할까?

이 연립방정식의 해가 존재한다면 모든 점 생성 가능

위 식에서 a와 b를 구할 수 있기 때문에 모든 점의 생성이 가능하다.

 

그렇다면 모든 두 벡터의 조합은 평면의 모든 점을 생성할 수 있을까?

근데 이런 경우, 기울기 동일한 직선 내에서만 벡터가 생성 가능

(2,4)는 (1,2)의 스칼라 곲으로 표현 가능하므로,

위의 수식은 사실상 (1,2)의 스칼라 곱으로 표현되기 떄문에 벡터(1,2)의 기울기와 동일한 벡터만 생성된다.

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2. 기저(Basis)와 차원(Dimension)

• 기저(Basis) : 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립인 벡터들의 집합
• 기저 벡터(Basis vector) : 기저 집합에 속한 원소
• 차원(Dimension): 기저 집합이 가지는 원소의 수

예시)

2차원 평면을 생성하기 위해서는 항상 두 개의 기저 벡터를 가진다.

앞서서 (5,5)를 만들기 위한 벡터의 조합은 두 가지가 있었다.

기저 집합 B1, B2

B1, B2 모두 평면의 기저가 될 수 있고, 무한히 많은 기저에 대한 경우의 수가 존재하지만,

기저 집합의 원소의 수는 언제나 두 개로 동일하다.

(연립 방정식의 해)

 

기저가 하나라면 벡터와 스칼라의 곱셈 성질로 인해 하나의 선에 해당하는 벡터만 생성할 수 있고, 

(기울기가 같은 직선 위에서만 점 생성 가능하므로 2차원이 아닌 1차원)

세 개 이상인 경우에는 선형 독립을 만족하지 못하기 때문이다.

 

앞선 식에서 두 선형 독립인 벡터로 평면 상의 모든 점을 생성할 수 있음을 알 수 있었다.

그렇다면 아래 식의 경우 0벡터를 만들기 위해 0이 아닌 세 번째 계수가 존재한다는 것을 의미한다.

체 집합에서 덧셈의 역원이 존재하기 때문

따라서 평면에서 세 개 이상의 원소로 구성된 기저는 존재하지 않음을 알 수 있다.

실 벡터 공간을 표기할 때 이러한 차원의 정보를 사용해 점차 붙여 다음과 같이 표현한다.

2차원은 x축과 y축을 직교, 3차원은 x,y,z축 직교 

계속해서 직교해서 축을 쌓아나가면 이론상으론 N차원 구축 가능

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표준 기저 벡터(Standard basis vector)

기저 벡터 중에서 가장 기본이 되는 벡터

선형 독립이라면 어떤 조합의 벡터라도 기저 벡터가 될 수 있음 (1,3)(2,1)처럼!